Як знайомити поступово, щоб кіт і собака поладнали?

Брати кошеня і цуценя одночасно, щоб росли разом

Вот взяли щенка, дома две кошки. Одна отнеслась просто насторожено, вторая ходила шипела, мяукала на собаку, явно в стрессе, но она по жизни более пугливая. Собака в свою очередь просто ходила обнюхивала их, по крайней мере пыталась. Старались первые дни не особо их в контакт пускать, пока свыкнуться с мыслью, что в доме появился ещё один питомец. Прошел месяц. Собака бегает вокруг котов, хочет с ними играть, но коты у нас более ленивые и либо просто морозятся, либо могут нашипеть, если щенок слишком их облизывает и сует нос им в мордочки)

Котенка собаки обычно воспринимают спокойно.
Надо сначала держать в разных комнатах, они будут слышать запах и привыкать и постепенно знакомить.
Какой характер у собаки?

Никак, если кот уже есть, а собака появляется позже, то авторитетом всегда будет кот. Конечно еще зависит от характера кота, если тюфяк, то может и примет.

Автор, Вы не там спросили. Ищите соцсети кинологов, они там это часто расписывают.
Либо фелинологов, зоопсихологов.
Тут люди и слов таких не слышали и у них все никак не решаемо. А протоколы знакомства существуют и если по ним знакомить, все норм будет.

Если в двух словах, то целью знакомства является демонстрация каждому животному на понятном ему языке, что другое для него проблем не создаст, а, наоборот, его появление сулит исключительно плюшки.
Сначала животных расселяют строго по разным помещениям. Это первый этап знакомства - оба слышат и понимают, что есть кто-то еще, но не видят. Далее обмен запахами, осмотр чужих владений, одним из последних этапов идет визуальный контакт на расстоянии, потом им позволяют подойти друг к другу, но строго под контролем (поводок). На каждом этапе подкрепляется как минимум нейтральная реакция. И переходят от этапа к этапу, только если эта нейтральная реакция на данном этапе закреплена. Двигаются в темпе того животного, которому знакомство дается сложнее.
Если собака взрослая, с ней легче работать. Щенки обычно реактивны, игнорируют требования, им нужно гораздо больше, чем взрослой собаке, раз повторять одно и то же. Но все выполнимо.